高等量子力学（Advanced Quantum Mechanics）

课程编号：04811120

学分：3

教师：郭弘 Hong Guo

教学方式：课堂讲授，英文版书

考试方式：笔试

内容提要：

本课程内容可分为四个部分：经典物理学回顾、量子力学基础、量子力学中的旋转与角动量以及扩展阅读专题。课程主要介绍经典力学与量子力学联系，量子力学基本概念以及常用理论、方法和技巧，并对一些典型问题进行了介绍和分析。

教学大纲：

第一部分、经典物理学回顾

    第一章 经典力学

1. 经典力学概述
2. Lagrange力学
3. Hamilton力学（一）：Hamilton方程
4. Hamilton力学（二）：相空间的变换
5. Hamilton力学（三）：相空间动力学
6. 经典力学中的对称性与守恒量
7. 经典力学应用：两体问题与Kepler问题、带电粒子在电磁场中的运动问题

    第二章 经典电动力学及相关数学知识

1. 引言：内容、意义
2. Helmholtz矢量场分解定理
3. 电磁场实验定律与Maxwell方程组：电荷守恒定律、散度定律、旋度定律、Ampére电磁力定律/Newton-Lorentz方程
4. Maxwell方程组的性质：四大守恒性、不（协）变性、电磁场的多级展开、电磁场的两种单位制及其转化

第二部分、量子力学基础

    第一章 量子力学数学基础（一）：Hilbert空间及量子力学基本假设

1. Hilbert空间基础知识：线性空间与内积空间、算符、分立谱与连续谱、表象变换、可对易力学量完全集（CSCO）
2. 量子力学的基本假设：五大基本假设、Stern-Gerlach实验分析、量子力学有关变换及主要定理
3. 量子力学中的主要算符：密度算符、Pauli算符、时间演化算符及其简单应用、三种图像（Schrödinger、Heisenberg、Dirac相互作用）及其变换（图像的物理解释）

    第二章 量子力学数学基础（二）：量子力学中的对称性与不变性

1. 群论导引：群论基本概念、量子力学中有关群、李群-李代数-李代数生成元的李括号关系
2. 平移变换与及其生成元
3. 空间旋转变换及其生成元—角动量、Laplace-Runge-Lenz矢量（初步）
4. 空间反演变换与宇称：定义、选择定则——举例说明
5. 时间反演变换与Kramers简并：定义、选择定则、简并、举例说明
6. 奇点积分与特殊相位

    第三章 定态Schrödinger方程

1. 势阱、势垒问题：束缚态与非束缚态分析、简并度分析
2. 中心力场问题（一）：两体问题、氢原子波函数、双原子分子波函数
3. 中心力场问题（二）：势散射问题、势散射渐进分析
4. 线性谐振子问题：基本方法、粒子数算符的本征态、湮灭算符的本征态、P-, Q-, W表示理论初步
5. 电磁场中带电粒子的运动：电偶极子、磁偶极子、选择定则、U(1) 规范不变性与电荷守恒初步

    第四章 近似方法

1. 准经典近似方法：Bohr-Sommerfeld理论、WKB近似方法
2. 定态微扰论：一般模型、非简并情况及举例、简并情况及举例
3. 含时微扰论：跃迁问题、光电效应
4. 电磁场偶极近似与Bloch方程：核磁共振、光-二能级原子相互作用
5. 变分法——Ritz变分法及氦原子

第三部分、量子力学中的旋转与角动量

    第一章 旋转群及其生成元

1. 三维空间的旋转群及其生成元：Euclidean空间中的旋转群SO(3)及其生成元、Hilbert空间中的旋转群SU(2)群及其生成元、角动量守恒、角量子数与磁量子数及(2j+1)简并
2. 四维空间的旋转群SO(4)群及其生成元——Laplace-Runge-Lenz矢量

    第二章 角动量耦合及其应用

1. 角动量耦合系数：Clebsch-Gordan系数、Wigner-3j系数、Wigner-6j系数、Wigner-9j系数
2. 角动量耦合定理：Wigner-Eckart定理、投影定理、简单应用
3. Zeeman效应：Pauli方程、正常/反常Zeeman效应、Paschen-Back效应、非线性Zeeman效应
4. Stark效应：直流Stark效应、交流Stark效应（光频移）
5. 氢原子：精细结构超精细结构

扩展阅读专题：

1. 经典电磁场论基础：狭义相对论及四维时空（Minkowski空间）的协变性、电磁场张量与能量-动量张量、自由电磁场的Lagrange量、经典电动力学中的对称性与守恒量：U(1) 规范不变性-电荷守恒
2. 量子力学的Lagrange体系——路径积分理论初步
3. 相对论量子力学初步：Klein-Gordon方程、Dirac方程
4. 热力学与统计力学及相关数学知识
5. 数学有关扩展阅读：四元数、外代数、外微分、几何代数、概率统计基础、全微分及Jacobi矩阵及行列式、随机微积分

推荐教材或参考资料：

教材：郭弘，《高等量子力学》（全部pdf 电子版，未出版）

参考书：

1. Modern Quantum Mechanics, J. J. Sakurai, Addison-Wesley (1994). (recommended text book, for its good selection of topics and deep perspective in developing the subject and so is worldwide selected as a text book for graduate quantum mechanics course)
2. UC Berkeley Lecture Notes of Quantum Mechanics, Robert G. Littlejohn (2021). (recommended text materials, for its very concrete and detailed description, especially in theory)
3. Quantum Mechanics: an experimentalist's approach, Eugene D. Commins, Cambridge University Press (2014). (recommended text materials, for its very brief and quick teaching the useful theory of quantum mechanics to experimentalists, and also very good description in quantum related experiments)
4. The Principles of Quantum Mechanics, 4^th ed., Oxford University Press (1974). (recommended for deep understanding in fundamental concepts and principles of quantum mechanics)
5. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, Princeton (1955). (recommended for mathematics students, if any)
6. Quantum Mechanics, Albert Messiah, John Wiley, New York (1966). (recommended for the students who likes to learn more mathematics in quantum mechanics)
7. Quantum mechanics: non-relativistic theory, L. D. Landau and E. M. Lifshitz, 3rd ed., rev. and enl., Oxford, New York, Pergamon Press (1977). (recommended for the students who would like to learn more and concrete physics in quantum mechanics)